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可用word轉換3.3時間序列分析
3.3.1時間序列概述
1. 基本概念
(1)一般概念：系統中某一變數的觀測值按時間順序（時間間隔相同）排列成一個數值序列，展示研究物件在一定時期內的變動過程，從中尋找和分析事物的變化特徵、發展趨勢和規律。它是系統中某一變數受其他各種因素影響的總結果。
(2)研究實質：通過處理預測目標本身的時間序列資料，獲得事物隨時間過程的演變特性與規律，進而預測事物的未來發展。它不研究事物之間相互依存的因果關係。
(3)假設基礎：慣性原則。即在一定條件下，被預測事物的過去變化趨勢會延續到未來。暗示著歷史資料存在著某些資訊，利用它們可以解釋與預測時間序列的現在和未來。
近大遠小原理（時間越近的資料影響力越大）和無季節性、無趨勢性、線性、常數方差等。
(4)研究意義：許多經濟、金融、商業等方面的資料都是時間序列資料。
時間序列的預測和評估技術相對完善，其預測情景相對明確。
尤其關注預測目標可用資料的數量和品質，即時間序列的長度和預測的頻率。
2. 變動特點
(1)趨勢性：某個變數隨著時間進展或引數變化，呈現一種比較緩慢而長期的持續上升、下降、停留的同性質變動趨向，但變動幅度可能不等。
(2)週期性：某因素由於外部影響隨著自然季節的交替出現高峰與低谷的規律。
(3)隨機性：個別為隨機變動，整體呈統計規律。
(4)綜合性：實際變化情況一般是幾種變動的疊加或組合。預測時一般設法過濾除去不規則變動，突出反映趨勢性和週期性變動。
3. 特徵識別
認識時間序列所具有的變動特徵，以便在系統預測時選擇採用不同的方法。
(1)隨機性：均勻分佈、無規則分佈，可能符合某統計分佈。(用因變數的散點圖和直方圖及其包含的正態分佈檢驗隨機性，大多數服從正態分佈。)
(2)平穩性：樣本序列的自相關函數在某一固定水平線附近擺動，即方差和數學期望穩定為常數。
樣本序列的自相關函數只是時間間隔的函數，與時間起點無關。其具有對稱性，能反映平穩序列的週期性變化。
特徵識別利用自相關函數ACF：ρk=γk/γ0
其中γk是yt的k階自協方差，且ρ0=1、-1<ρk<1。
平穩過程的自相關係數和偏自相關係數都會以某種方式衰減趨近於0，前者測度當前序列與先前序列之間簡單和常規的相關程度，後者是在控制其他先前序列的影響後，測度當前序列與某一先前序列之間的相關程度。
實際上，預測模型大都難以滿足這些條件，現實的經濟、金融、商業等序列都是非穩定的，但通過資料處理可以變換為平穩的。
4. 預測類型
(1)點預測：確定唯一的最好預測數值，其給出了時間序列未來發展趨勢的一個簡單、直接的結果。但常產生一個非零的預測誤差，其不確定程度為點預測值的置信區間。
(2)區間預測：未來預測值的一個區間，即期望序列的實際值以某一概率落入該區間範圍內。區間的長度傳遞了預測不確定性的程度，區間的中點為點預測值。
(3)密度預測：序列未來預測值的一個完整的概率分佈。根據密度預測，可建立任意置信水準的區間預測，但需要額外的假設和涉及複雜的計算方法。
5. 基本步驟
(1)分析資料序列的變化特徵。
(2)選擇模型形式和參數檢驗。
(3)利用模型進行趨勢預測。
(4)評估預測結果並修正模型。
3.3.2隨機時間序列
系統中某一因素變數的時間序列資料沒有確定的變化形式，也不能用時間的確定函數描述，但可以用概率統計方法尋求比較合適的隨機模型近似反映其變化規律。(引數不直接含有時間變數,但隱含時間因素)
1． 自回歸AR(p)模型
（R：模型的名稱 P：模型的參數）（自己影響自己，但可能存在誤差，誤差即沒有考慮到的因素）
(1)模型形式（εt越小越好，但不能為0：ε為0表示只受以前Y的歷史的影響不受其他因素影響）
yt=φ1yt-1+φ2yt-2+……+φpyt-p+εt
式中假設：yt的變化主要與時間序列的歷史資料有關，與其他因素無關；
εt不同時刻互不相關，εt與yt歷史序列不相關。
式中符號：p模型的階次，滯後的時間週期，通過實驗和參數確定；
yt當前預測值，與自身過去觀測值yt-1、…、yt-p是同一序列不同時刻的隨機變數，相互間有線性關係，也反映時間滯後關係；
yt-1、yt-2、……、yt-p同一平穩序列過去p個時期的觀測值；
φ1、φ2、……、φp自回歸係數，通過計算得出的權數，表達yt依賴於過去的程度，且這種依賴關係恒定不變；
εt隨機干擾誤差項，是0均值、常方差σ2、獨立的白雜訊序列，通過估計指定的模型獲得。
(2)識別條件
當k>p時，有φk=0或φk服從漸近正態分佈N(0,1/n)且(|φk|>2/n1/2)的個數≤4.5%，即平穩時間序列的偏相關係數φk為p步截尾，自相關係數rk逐步衰減而不截尾，則序列是AR(p)模型。
實際中，一般AR過程的ACF函數呈單邊遞減或阻尼振盪，所以用PACF函數判別(從p階開始的所有偏自相關係數均為0)。
(3)平穩條件
一階：|φ1|<1。二階：φ1+φ2<1、φ1-φ2<1、|φ2|<1。φ越大，自回歸過程的波動影響越持久。
(4)模型意義
僅通過時間序列變數的自身歷史觀測值來反映有關因素對預測目標的影響和作用，不受模型變數相互獨立的假設條件約束，所構成的模型可以消除普通回歸預測方法中由於引數選擇、多重共線性等造成的困難。
2． 移動平均MA(q)模型
(1)模型形式
yt=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θpεt-p
(2)模型含義
用過去各個時期的隨機干擾或預測誤差的線性組合來表達當前預測值。
AR(p)的假設條件不滿足時可以考慮用此形式。
總滿足平穩條件，因其中參數θ取值對時間序列的影響沒有AR模型中參數p的影響強烈，即這裏較大的隨機變化不會改變時間序列的方向。
(3)識別條件
當k>q時，有自相關係數rk=0或自相關係數rk服從N(0,1/n(1+2∑r2i)1/2)且(|rk|>2/n1/2(1+2∑r2i)1/2)的個數≤4.5%，即平穩時間序列的自相關係數rk為q步截尾，偏相關係數φk逐步衰減而不截尾，則序列是MA(q)模型。
實際中，一般MA過程的PACF函數呈單邊遞減或阻尼振盪，所以用ACF函數判別(從q階開始的所有自相關係數均為0)。
(4)可逆條件
一階：|θ1|<1。二階：|θ2|<1、θ1+θ2<1。
當滿足可逆條件時，MA(q)模型可以轉換為AR(p)模型
3． 自回歸移動平均ARMA(p,q)模型
(1) 模型形式
yt=φ1yt-1+φ2yt-2+……+φpyt-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θpεt-p
式中符號： p和q是模型的自回歸階數和移動平均階數；
φ和θ是不為零的待定係數；εt獨立的誤差項；
yt是平穩、正態、零均值的時間序列。
(2) 模型含義
使用兩個多項式的比率近似一個較長的AR多項式，即其中p+q個數比AR(p)模型中階數p小。前二種模型分別是該種模型的特例。
一個ARMA過程可能是AR與MA過程、幾個AR過程、AR與ARMA過程的迭加，也可能是測度誤差較大的AR過程。
(3) 識別條件
平穩時間序列的偏相關係數φk和自相關係數rk均不截尾，但較快收斂到0，則該時間序列可能是ARMA(p,q)模型。實際問題中，多數要用此模型。因此建模解模的主要工作是求解p、q和φ、θ的值，檢驗εt和yt的值。
(4) 模型階數
AIC準則：最小資訊準則，同時給出ARMA模型階數和參數的最佳估計，適用於樣本資料較少的問題。目的是判斷預測目標的發展過程與哪一隨機過程最為接近。因為只有當樣本量足夠大時，樣本的自相關函數才非常接近母體的自相關函數。具體運用時，在規定範圍內使模型階數從低到高，分別計算AIC值，最後確定使其值最小的階數是模型的合適階數。
模型參數最大似然估計時AIC=(n-d)logσ2+2(p+q+2)
模型參數最小二乘估計時AIC=nlogσ2+(p+q+1)logn
式中：n為樣本數，σ2為擬合殘差平方和，d、p、q為參數。
其中：p、q範圍上線是n較小時取n的比例，n較大時取logn的倍數。
實際應用中p、q一般不超過2。
4． 自回歸綜合移動平均ARIMA(p,d,q)模型
(1)模型識別
平穩時間序列的偏相關係數φk和自相關係數rk均不截尾，且緩慢衰減收斂，則該時間序列可能是ARIMA(p,d,q)模型。
(2)模型含義
模型形式類似ARMA（p,q）模型，但資料必須經過特殊處理。特別當線性時間序列非平穩時，不能直接利用ARMA（p,q）模型，但可以利用有限階差分使非平穩時間序列平穩化，實際應用中d一般不超過2。
若時間序列存在週期性波動，則可按時間週期進行差分，目的是將隨機誤差有長久影響的時間序列變成僅有暫時影響的時間序列。
即差分處理後新序列符合ARMA(p,q)模型，原序列符合ARIMA(p,d,q)模型。
3.3.3建模解模過程
1. 資料核對
檢驗時間序列樣本的平穩性、正態性、週期性、零均值，進行必要的資料處理變換。
(1)作直方圖：檢驗正態性、零均值。
按圖形Graphs—直方圖Histogram的順序打開如圖3.15所示的對話方塊。 圖3.15
將樣本資料送入變數Variable框，選中顯示正態曲線Display normal curve項，點擊OK運行，輸出帶正態曲線的直方圖，如圖3.16所示。 圖3.16
從圖中看出：標準差不為1、均值近似為0，可能需要進行資料變換。
(2)作相關圖：檢驗平穩性、週期性。
按圖形Graphs—時間序列Time Series—自相關Autocorrelations的順序打開如圖3.17所示的對話方塊。 圖3.17
將樣本資料送入變數Variable框，選中自相關Autocorrelations和偏自相關Partial Autocorrelations項，暫不選資料轉換Transform項，點擊設置項Options，出現如圖3.18所示對話方塊。 圖3.18
因為一般要求時間序列樣本資料n>50，滯後週期k<n/4，所以此處控制最大滯後數值Maximum Number of Lags設定為12。點擊繼續Continue返回自相關主對話方塊後，點擊OK運行系統，輸出自相關圖如圖3.19所示。 圖3.19
從圖中看出；樣本序列資料的自相關係數在某一固定水平線附近擺動，且按週期性逐漸衰減，所以該時間序列基本是平穩的。
(3)數據變換：
若時間序列的正態性或平穩性不夠好，則需進行資料變換。常用有差分變換(利用transform—Create Time Series)和對數變換(利用Transform—Compute)進行。一般需反復變換、比較，直到資料序列的正態性、平穩性等達到相對最佳。
2. 模型識別
分析時間序列樣本，判別模型的形式類型，確定p、d、q的階數。
(1)判別模型形式和階數
①相關圖法：
運行自相關圖後，出現自相關圖（圖3.19）和偏自相關圖（圖3.20）。 圖3.20
從圖中看出：自相關係數和偏相關係數具有相似的衰減特點：衰減快，相鄰二個值的相關係數約為0.42，滯後二個週期的值的相關係數接近0.1，滯後三個週期的值的相關係數接近0.03。所以，基本可以確定該時間序列為ARMA（p,q）模型形式，但還不能確定是ARMA（1,1）或是ARMA（2,2）模型。但若前四個自相關係數分別為0.40、0.16、0.064、0.0256，則可以考慮用AR(1) 模型。
另外，值得說明的是：只是ARMA模型需要檢驗時間序列的平穩性，若該序列的偏自相關函數具有顯著性，則可以直接選擇使用AR模型。
實際上，具體應用自相關圖進行模型選擇時，在觀察ACF與PACF函數中，應注意的關鍵問題是：函數值衰減的是否快；是否所有ACF之和為-0.5，即進行了過度差分；是否ACF與PACF的某些滯後項顯著和容易解釋的峰值等。但是，僅依賴ACF圖形進行時間序列的模型識別是比較困難的。
②參數估計：
從(m,m-1)開始試驗，一般到m=p+q=1/n。實際應用中，往往從(1,1)、……、(2,2)，逐個計算比較它們的AIC值（或SBC值），取其值最小的確定為模型。
(2)建立時間序列新變數
無論是哪種模型形式，時間序列總是受自身歷史資料序列變化的影響，因此需將歷史資料序列作為一個新的時間序列變數。
按資料轉換transform—建立時間序列Create Time Series的順序展開對話方塊，圖3.21。 圖3.21
①在功能Function下拉清單中選擇變數轉換的函數，其中：
非季節差分Differences: 計算時間序列連續值之間的非季節性差異。
季節性差分Seasonal Differences: 計算時間序列跨距間隔恒定值之間的季節性差異，跨距根據定義的週期確定。
領先移動平均Prior moving average:計算先前的時間序列數值的平均值。
中心移動平均Centered moving average:計算圍繞和包括當前值的時間序列數值的平均值。
中位數Running medians:計算圍繞和包括當前值的時間序列的中位數。
累積和Cumulative sum:計算直到包括當前值的時間序列數值的累計總數。
滯後順序Lag: 根據指定的滯後順序，計算在前觀測量的值。
領先順序Lead:根據指定的領先順序，計算連續觀測量的值。
平滑Smoothing:以混合資料平滑為基礎，計算連續觀測量的值。
以上各項主要用在生成差分變數、滯後變數、平移變數，並且還要關注差分、滯後、平移的次數，以便在建立模型、進行參數估計時，使方程達到一致。
②在順序Order框中填入在前或在後的時間序列數值間隔的數目。
在新變數New Variable框中接受左邊框移來的源變數。
在名稱Name框中定義新變數的名稱，但必單擊改變Change方能成立。
③單擊OK運行系統，在原資料庫中出現新變數列。
另外，若需產生週期性時間序列的日期型變數，則按資料Data—定義日期Define Dates的順序展開如圖3.22所示對話方塊。 圖3.22
在樣本Cases Are欄中選擇定義日期變數的時間間隔，在起始日期First Case Is欄中設定日期變數第一個觀測量的值，單擊OK完成定義。
3. 參數估計
採用最大似然估計或最小二乘估計等方法估計φ、θ參數值，並進行顯著性檢驗。
按分析Analyze—時間序列Time series—ARIMA模型的順序展開如圖3.23對話方塊。 圖3.23
在圖3.23中：
選擇原時間序列變數進入因變數框；
根據模型識別結果和建立的新時間變數，選擇一個或多個變數進入引數框；暫時不進行因變數的資料轉換；
與引數的選擇對應，根據模型識別結果或實驗的思路設定p、(d)、q的值；選擇模型中包含常數項；
分別單擊保存和設置按鈕，展開如圖3.24和3.25對話方塊。 圖3.24
圖3.24中：
在建立變數Create Variable欄選擇新建變數結果暫存原資料檔案Add to file項，也可選擇用新建變數代替原資料檔案中計算結果Replace existing項；
在設定置信區間百分比%Confidence Intervals下拉清單選擇95；
在預測樣本Predict Cases欄選擇根據時期給出預測結果的方法。 圖3.25
圖3.25中：
在收斂標準Convergence Criteria欄選擇迭代次數Maximum iterations、參數變化精度Parameter change、平方和變化精度Sum of squares change，當運算達到其中一個參數的設定，則迭代終止；
在估計初始值Initial Values for Estimation欄選擇由過程自動選擇Automatic或由先前模型提供Apply from previous model，一般默認前者；
在預測方法Forecasting Method欄選擇無條件Unconditional或有條件最小二乘法Conditional least squares；
在輸出控制Display欄選擇最初和最終參數的迭代摘要Initial and final parameters with iteration summary或詳細資料details、或只顯示最終參數Final parameters only。
單擊OK，系統立即執行，輸出資訊如下：
MODEL: MOD_1
Split group number: 1 Series length: 48
No missing data.
Melard's algorithm will be used for estimation.
Conclusion of estimation phase.
Estimation terminated at iteration number 7 because:Sum of squares decreased by less than .001 percent.
FINAL PARAMETERS:
Number of residuals 48
Standard error 1.1996949
Log likelihood -75.463915
AIC 156.92783
SBC 162.54143
Analysis of Variance:
DF Adj. Sum of Squares Residual Variance
Residuals 45 65.099923 1.4392678
Variables in the Model:
B SEB T-RATIO APPROX. PROB.
AR1 .02318739 .31945836 .0725835 .94245925
MA1 -.44871554 .28829314 -1.5564558 .12660552
CONSTANT -.02421308 .25505018 -.0949346 .92478827
The following new variables are being created:
Name Label
FIT_1 Fit for 樣本資料 from ARIMA, MOD_1 CON
ERR_1 Error for 樣本資料 from ARIMA, MOD_1 CON
LCL_1 95% LCL for 樣本資料 from ARIMA, MOD_1 CON
UCL_1 95% UCL for 樣本資料 from ARIMA, MOD_1 CON
SEP_1 SE of fit for 樣本資料 from ARIMA, MOD_1 CON
各個輸出統計量的意義：
常數項：認為是取值恒為1的常數變數，其係數就是引數為0時因變數的最優預測值，也稱為預測基準值。
系 數：反映引數對因變數影響的權重。
標準誤：表明樣本資料的可靠性。在(殘差)參數近似服從正態分佈條件下，係數加減兩倍的標準誤差近似等於總體參數95%的置信區間。其值越小，置信區間越窄；並且其對於係數的相對值越小，估計結果越精確。
t統計量：估計係數與標準誤差的比值，檢驗變數的不相關性。一般給定5%顯著水準，則拒絕原假設的0值位於95%的置信區間外，其絕對值必大於2。
t概率值：其值越小，則拒絕原假設不相關性的證據越充分。其值接近0.05與t統計量接近2相對應。
均 值：度量變數的集中度，傳遞隨機變數的位置資訊。
標準差：度量變數的離散度，傳遞隨機變數的規模資訊。
平方和：殘差平方和是許多統計量的組成部分，孤立考察無太大價值。
准 則：資訊準則AIC和SBC用於模型的選擇，越小越好，但受自由度約束較為嚴重。
R2校正：是模型中引數對因變數變動的解釋比例，度量方程預測因變數的成功程度，其是回歸標準誤差與因變數標準差比較的結果。另一個比較方法是回歸標準誤差不超過因變數均值的10%則為好的模型。
DW統計：用於檢驗隨機誤差項是否存在序列相關。
LN似然：用於模型比較和假設檢驗，越大越好。
殘差圖：
4. 模型檢驗
檢驗新建模型的合理性。若檢驗不通過，則調整(p,q)值，重新估計參數和檢驗，反復進行直到接受為止。但模型識別、參數估計、檢驗修正三個過程之間相互作用、相互影響，有時需要交叉進行、反復實驗，才能最終確定模型形式。
(1)相關圖檢驗殘差白雜訊：
因為白雜訊過程是序列無關的，所以白雜訊過程的自相關函數和偏自相關函數在自相關圖中均為等於0的水準直線。
(2)散點圖檢驗殘差獨立性：
以誤差值為縱坐標、以預測值為橫坐標，觀察散點分佈的均勻性、隨機性。
理想預測模型的預測誤差一定是不可預測的、無規律的、序列無關的。
相應的DW統計量僅適用檢驗一階序列。
(3)直方圖檢驗殘差零均值：
零均值僅檢驗殘差序列無關，若正態分佈則檢驗獨立性。
(4)概率圖檢驗殘差自相關：以顯著性水準0.05計算χ2()概率值，。
(5)均方差檢驗預測的效果：以預測誤差的均方差最小為標準，注意預測誤差僅與預測週期有關，而與起始時刻無關。
5. 模型預測
預測系統研究物件的未來某時刻狀態。列出預測模型，計算預測值。 資料來源-macd
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